打麻將的數學冷知識：兵貴神速！如何一眼就知道胡牌了沒？

2017年，威廉斯堡大學數學系的李志光教授等人，發表了一項麻將研究，論文中提出了一套高效率的判斷胡牌演算法，以下版本由筆者修改呈現。

文字：郭君逸

一個人會不會打麻將，有一項基本的判斷方法——「能夠判斷是否胡牌」。在實戰當中，判斷的速度越快越好，如此才能在取捨牌的時候，很快的知道打哪張牌聽的牌比較好，也不會因為停下來比畫思考，而被看穿手裡擁有的牌型。

要知道聽什麼牌，最快的方式是背起來。常打麻將的人，腦中自然背了不少牌型，常見牌型瞬間就能判斷，除非拿了許多同花色的牌才會造成困擾。

電腦程式如何判斷聽牌？

要判斷聽牌，得先知道胡牌的牌型，如同要準備晚餐的食材之前，得先知道晚餐想吃什麼。

一般都是刪除「一刻」（3張相同牌）或「一順」（3張連續牌），也就是所謂的「搭子」，再利用「遞迴」程序處理。這樣做的效率並不太優，雖然判斷一副牌還是瞬間完成，但若要判斷十萬副牌局，效率好壞造成的影響非常之大。

2017年，威廉斯堡大學數學系的李志光教授等人，發表了一項麻將研究，論文中提出了一套高效率的判斷胡牌演算法。以下版本由筆者修改呈現：

#定理01：

一副牌P，若把一個對子拿掉後，假設此時數字最小的牌是「x」，

若x的張數是3張以上，則拿掉3張x（一刻）後，剩下牌為Q。
否則拿掉x, x+1, x+2（一順）之後，剩下的牌為Q。（若無法拿，則P沒胡）

則「P胡」若且唯若「Q胡」。

聽起來很複雜嗎？下面舉個例子說明：

例1：判斷P = 33345678是否胡牌？

P中唯一能當眼的地方，就是3，因此把33一對眼拿掉，變成Q=345678，Q是胡牌型，所以P也是。

例2：判斷P = 55666777889是否胡牌？

其中55、66、77、88都可以當眼睛，每種情況都試一次。

若55當眼，剩下666777889；最小的6有三張，直接拿掉666，剩777889，再拿777，得889，所以沒胡。
若66當眼，剩下556777889；最小的是兩張5，但沒有辦法拿掉兩個567了，所以沒胡。
若77當眼，剩下556667889；最小的是兩張5，但沒有辦法拿掉兩個567了，所以沒胡。

各種能拿掉眼睛的方式都試過，都無法胡，所以P不是胡牌型。

這樣做的好處，是只要拿掉一副牌的眼睛後，就可以一路由最小的牌取到最大的牌，依序檢驗，「線性時間」即可判斷是否胡牌，避免來來去去的反覆嘗試，省下非常多的計算時間。

已經學會胡牌型之後，判斷聽牌就簡單了。

只要試著加入任何一張牌，再嘗試拿掉各種可能的眼睛，利用定理1判斷是否可以胡牌，即可得知聽哪些牌，僅需要O（n³）的時間。

例3：判斷3456667888聽什麼牌？

加入1，剩13開頭，沒胡
加入2

拿掉66，剩234567888，胡！
拿掉88，剩234566678，沒胡

加入3

拿掉33，剩456667888，沒胡
拿掉66或88，剩334開頭，沒胡

加入4

拿掉44，剩35開頭，沒胡
拿掉66或88，剩3445開頭，沒胡

加入5，略，胡
加入6，略，胡
加入7，略，胡
加入8，略，胡
加入9，略，胡

上述方法雖然是電腦的判斷方式，但其實人腦判斷，也是相同道理，先把可能的眼睛拿出來，然後最小牌能拿走一刻即拿走一刻，否則試著拿走一順，由於人腦很強大，會自動省略一些無關緊要的判斷步驟，因此執行速度並不會太慢。

奴役電腦幫你辦事

有了快速判斷聽牌、胡牌的方法後，就可以開開心心奴役電腦幫我們做一些血汗計算了。

李志希教授的電腦幫忙跑了所有的情況，發現十三張麻將除了「國士無雙」（俗稱十三么）可以聽十三張牌之外，聽九個洞的情況只有一種：1112345678999，俗稱「九連寶燈」。而聽八個洞的情況有16種；聽七個洞的情況有79種。

筆者自己也計算了台灣麻將十六張的情況：聽九個洞的情況有11種，有1122233345678999、1112345667788999、1112345666777888、1112345566778999、1112344556678999，或是上述平移、對稱的牌型。聽八洞的情況有94種；聽七個洞的則有532種。

眼睛的判斷

李教授的方法告訴我們判斷胡牌與否，先找出眼睛會比較快。一旦眼睛的選擇多，事情就變得越複雜，電腦當然沒問題，但人腦判斷可能稍微慢了一點。此時，數學可以派上用場。

方法是這樣的，先只看同個花色，把所有的牌分成3堆：「一四七」堆，「二五八」堆，「三六九」堆，接著觀察每堆的張數。

例如上面的牌型，其中三六九牌共7張，二五八牌共6張，一四七牌共4張。這樣一眼就知道沒有胡牌，完全不用去試。

什麼！？為什麼可以這麼快？因為我有獨門秘技。

獨門秘技

若要胡牌的話，要抓成三個三個一組的搭子再搭配一對眼睛，搭子若是「順」，貢獻這三堆的個數必同時都加1；搭子若是「刻」，則某一堆會加3。

因此，若先不看眼睛，這三堆的牌數除以3的餘數應該要相等。再加上眼睛，就只會讓某一堆個數與其他兩堆不同。

以上例來說，三堆的張數分別為7、6、4張，除以3的餘數為1、0、1，於是，眼睛只有可能出現在第二堆，也就是二五八。若55拿掉，前半的33344無法湊成兩搭，因此沒胡；若88拿掉，依定理1，333也可以拿掉，剩下的局部44556也無法湊成兩搭，所以也無法胡牌。

我們再將這個結果寫成定理（沒辦法，數學家就是喜歡這樣XD）

#定理02：

一副牌，依一四七、二五八、三六九分成三堆，每堆的張數除以三的餘數必有一個與另兩個不同，則眼睛就在不同的那堆裡。

那麼，23333444455556666是否胡牌呢？

因為一四七有4張，二五八有5張，三六九有8張，除以3分別餘1、2、2，所以眼睛只可能是44，接著把44拿掉，剩下 233334455556666，然後利用定理1依序去拿，得到234、333、456、555、666，所以是胡牌型。

有了定理2，判斷胡牌時眼睛的可能性，可縮減到一堆，檢驗至多三次，大幅提升計算效率。

當整副牌同時有萬、筒、條、字的時候，因為眼睛只會在其中一種花色，因此其它花色一定都是3的倍數，利用張數就可以推判眼睛在哪個花色，所以只要能判斷其中一種花色即可。

假想一個更困難的例子，每張牌可以超過4張的話，請問：33333444555566777888899999有沒有胡牌？

三六九，共12張，除以3餘0
一四七，共6張，除以3餘0
二五八，共8張，除以3餘2

所以若能胡牌的話，眼睛必是55或88：假設是55，利用定理1，由小到大拿成333、345、345後，剩466777888899999，而4的後面斷了，所以沒有胡。

假設是88，利用定理1，由小到大拿成333、345、345、456、567、789、789、999，胡牌。

參考資料

Yuan Cheng, Chi-Kwong Li and Sharon H. Li, Mathematical aspect of the combinatorial game "Mahjong", arXiv:1707.07345v1

本文經關鍵評論網授權刊登，原文發表於此

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責任編輯：古家萱
核稿編輯：林君玶

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